裁判のことが世間にばれてしまうことはありますか？

訴訟は原則として公開の法廷で行われます。
誰でも傍聴することができますし、裁判所の「期日簿」にも、当事者の名前が貼られています。

もっとも、訴訟の全てが積極的に世間に公表されるということではありません。
世間で着目されている事件はメディアで取り上げられることもありますが、多くの事件は、当事者のみでひっそりと行われるのが通例といえます。

また、訴訟の記録などを閲覧するには、事件番号等の情報が必要であり、一般的には「裁判している＝世間にそのことがばれる」ということではありません。
私生活上の重大な秘密などが記録されている場合は、閲覧等の制限を請求することも可能です。